lunes, 31 de marzo de 2014

Teoría del caos y fractales


El matemático franco-americano Benoit Mandelbrot trabajando en la IBM, desarrolló el año 1975 el concepto de geometría fractal, Mandelbrot es descubridor de uno de los más bellos y complejos conjuntos matemáticos como un neologismo derivado de la palabra latina fractus, estando aún por establecer una definición exacta y definitiva del término. Básicamente los fractales se caracterizan por dos propiedades: Autosemejanza o autosimilitud y autorreferencia. La autorreferencia determina que el propio objeto aparece en la definición de sí mismo, con lo que la forma de generar el fractal necesita algún tipo de algoritmo recurrente. La autosemejanza implica invarianza de escala, es decir, el objeto fractal presenta la misma apariencia independientemente del grado de ampliación con el que se lo mire. Por más que se amplíe cualquier zona de un fractal, siempre hay estructura, hasta el infinito, apareciendo muchas veces el objeto fractal inicial, contenido en sí mismo. De todas formas, no fue hasta los años 1970 que comenzaron a vislumbrarse las aplicaciones de los fractales. En su tan citada obra “La geometría fractal de la naturaleza”, Mandelbrot razonó que la naturaleza entiende mucho más de geometría fractal que de geometría diferenciable. La geometría fractal aborda el estudio de formas geométricas no diferenciables o quebradas a cualquier escala que se miren. La geometría diferenciable, por otra parte, asume que a pequeña escala formas que no lo son se suavizan, con lo que se pierde la perspectiva global del objeto. La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. El objeto se expresa como el límite de un proceso geométrico iterativo, el cual puede provocar en cada iteración una fractura o quebramiento de la suavidad que lleva a la ausencia de diferenciabilidad en el objeto límite.

En palabras de Al-Majdalawi, en el texto escrito el año 2006 titulado “Matemáticas en la vida cotidiana”, caos no es sinónimo de fractal, aunque a veces se hable de los temas conjuntamente, o se ilustren trabajos de caos con imágenes fractales. La geometría fractal suele considerarse como la geometría que describe los sistemas caóticos que se encuentran en la naturaleza. Los fractales son un lenguaje, una manera de describir una geometría. La geometría fractal describe en algoritmos, cómo crear el fractal. Las computadoras traducen estas instrucciones a los magníficos patrones que se consideran como imágenes fractales. Los sistemas caóticos no son aleatorios, ni desordenados, solo lo parecen. Detrás de su comportamiento aparentemente aleatorio hay un sentido de orden y patrones. Los verdaderos sistemas aleatorios no son caóticos. Los sistemas caóticos son determinísticos, significa que tienen una ecuación que determina su comportamiento. Las palabras claves del caos son: Impredictibilidad, sensibilidad a las condiciones iniciales, en tanto que el grupo de ecuaciones determinístico describe el fenómeno. Las palabras claves de los fractales son: Autosimilitud e invarianza en la escala. Muchos fractales no son caóticos como el Triángulo de Sierpinski, o las curvas de Koch. Aun así, partiendo de bases distintas, los dos ámbitos tienen mucho en común: muchos fenómenos caóticos exhiben estructuras fractales, en los atractores extraños por ejemplo; la estructura fractal también es obvia en fenómenos caóticos con sucesivas bifurcaciones como las ecuaciones logísticas o las poblacionales.

Al-Majdalawi continúa mencionando que el carácter fractal se manifiesta en el caos en varios aspectos. En primer lugar la geometría de los atractores extraños es fractal. Si se representan las órbitas de un atractor extraño y se amplían sucesivamente se puede observar la autosimilaridad propia de los fractales, en la que aparece y reaparece la misma estructura. Asimismo se han detectado estructuras fractales en algunas regiones separatrices de las cuencas de atracción de dichos atractores y en los denominados diagramas de bifurcación de aquellos sistemas en los que existe caos. Hasta no hace mucho tiempo un código implícito entre los científicos era que los sistemas sencillos se comportan de modo sencillo y que el comportamiento complejo era el resultado de causas complejas. La aparición de la “Teoría del Caos” viene a desmontar este prejuicio: Los sistemas sencillos pueden dar lugar a comportamientos complejos y los sistemas complejos no necesariamente llevan asociados respuestas complejas. Este conocimiento sin duda contribuye a una mejor comprensión del mundo, pero al mismo tiempo aleja la posibilidad de poder controlarla. Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los científicos han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles.

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